Równania różniczkowe

Wybrane zagadnienia z teorii równań różniczkwych zwyczajnych

i cząstkowych.

Wykład z równań różniczkowych (r.r.)

Treści wykładu:

1. Liniowe układy r.r.:

własności funkcji wykładniczej dla macierzy,

zagadnienie Cauchego, macierzowe równania drugiego rzędu.

2. Przykłady zastosowania r.r. do modelowania zjawisk fizycznych.

3. Układy nieliniowe: twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności

rozwiązania zagadnienia Cauchego (bez dowodu).

4. Zagadnienie Keplera: rozwiązanie metodą Hamiltona (hodograf).

5. Jednowymiarowe równanie przewodnictwa ciepła:

wyprowadzenie, warunki początkowe i brzegowe, rozwiązanie metodą

Fouriera.

6. Równanie struny: wyprowadzenie, warunki początkowe i brzegowe.

7. Równanie struny: rozwiązanie metodą D'Alamberta i metodą Fouriera.

8. Równanie Laplace'a: funkcje harmoniczne i ich związek z

funkcjami analitycznymi. Rozwiązanie metodą Fouriera w kwadracie

i w dysku.

9. Równanie falowe w dwu wymiarach: rozwiązanie metodą Fouriera

w kwadracie.

Treści ćwiczeń:

1. Wektory i wartości własne macierzy.

Ortogonalność wektorów własnych dla macierzy

symetrycznych.

2. Niejodnorodne równanie drugiego rzędu (model drgań z wymuszaniem).

3. Poretrety fazowe dla układów liniowych na płaszczyźnie.

4. Równania różniczkowe opisujące rodziny krzywych na płaszczyźnie,

rodziny ortogonalne.

5. Ortogonalność w przestrzeniach funkcyjnych: iloczyn Hilberta, przykłady.

Szeregi Fouriera.

6. Funkcje własne dla operatora Laplace'a na odcinku z różnymi

warunkami brzegowymi.

Arnold W.I. "Równania różniczkowe zwyczajne"

M. Gewert, Z. Skoczylas, "Równania różniczkowe zwyczajne"

H. Marcinkowska, "Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych"

PWN, 1986.

A. Palczewski, "Równania różniczkowe zwyczajne",WNT, Warszawa 2004,

W teorii równań różniczkowych, zwyczajnych i cząstkowych,

znajduje zastosowanie wiedza matematyczna zdobyta przez

studentów w całym toku studiów, a szczególnie analiza matematyczna

i algebra liniowa.

Umiejętności oczekiwane:

1. Klasyfikacja portretów fazowych dla punktów równowagi.

2. Zrozumienie matematycznej teorii rezonansu .

3. Wartości własne macierzy i operatorów symetrycznych.

4. Szeregi Fouriera i ich zastosowanie do rozwiązywania

równań cząstkowych.

Prace domowe. Kolokwia. Egzamin końcowy.